Some Specific Features in the Construction of p-ary Reed-Solomon Codes for an Arbitrary Prime p

Кодовете на Рийд–Соломон (RS), предложени през 1960 г. от Ървинг Рийд и Густав Соломон като разновидност на кодовете за коригиране на грешки, имат множество съвременни приложения. Сред най-значимите са възстановяването на данни в системи за съхранение, включително твърди дискове, минидискове, CD, DVD, Google GFS, BigTable и RAID 6, както и в комуникационни системи като DSL, WiMAX, DVB, ATSC и сателитните комуникации. Освен това RS кодовете се използват в системи с баркодове за управление и реклама, като PDF-417, MaxiCode, DataMatrix, QR Code и Aztec Code. Понастоящем в тези приложения широко се използват RS кодове над полета на Галоа GF(2^m) с основа 2, като най-разпространено е полето GF(2^8). Това позволява всички 256 стойности на един байт да бъдат представени чрез полином с осем двоични коефициента над GF(2^8). Разглеждането на RS кодовете като циклични кодове над GF(2^m), както и валидността на математическите зависимости в произволно поле GF(p^m), мотивира проверката и обобщаването на идеята за генериране на RS кодове над поле с основа, различна от 2. В резултат статията извежда специфичните особености при конструирането на кодове на Рийд–Соломон, разглеждани като семейство кодове над произволно поле GF(p^m), чиято основа е просто число p, различно от 2. Разгледани са и специфичните свойства на основните аритметични операции в произволното поле GF(p^m), произтичащи от това, че противоположните елементи a и −a не съвпадат непременно при характеристика, различна от 2.